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Deviazione standard e movimenti attesi

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La deviazione standard è una misura statistica che descrive quanto i valori sono dispersi intorno alla loro media.

Nel contesto della moderna teoria di portafoglio la deviazione standard è diventata sinonimo di rischio. Un asset i cui rendimenti hanno una deviazione standard più elevata, sono cioè più volatili, è considerato più rischioso di un asset con volatilità minore.

Visto che il mercato offre generalmente una remunerazione per il rischio sostenuto, una maggiore volatilità si traduce in un maggior rendimento atteso.

La deviazione standard come misura dell’incertezza

Se si ipotizzano due diversi investimenti, con lo stesso rendimento atteso ma con diversa volatilità, quello con volatilità maggiore presenterà rendimenti molto più dispersi rispetto alla media.

La volatilità rappresenta quindi una misura dell’incertezza relativa al fatto di ottenere effettivamente un rendimento pari al rendimento atteso. Se la volatilità è bassa, i rendimenti non si discostano molto dal rendimento medio, se la volatilità è alta i rendimenti sono molto più dispersi.

Si veda l’Appendice per una spiegazione della metodologia di calcolo della deviazione standard.

Deviazione standard e distribuzione normale

Generalmente si assume che i rendimenti di un investimento siano distribuiti in modo normale. La distribuzione normale è quella la cui funzione di densità di probabilità assume la classica forma a campana.

La distribuzione normale è essere descritta da soli due parametri: la media  (che definisce il valore centrale) e la deviazione standard (che descrive l’ampiezza della campana).

La media μ definisce il posizionamento della distribuzione. La deviazione standard σ ne definisce l’ampiezza. Al variare della media il centro della distribuzione si sposta lungo l’asse orizzontale mentre al variare della deviazione standard varia la forma. La curva si appiattisce all’aumentare della volatilità mentre si smagrisce e diventa più alta al diminuire della volatilità.

 

Deviazione standard e probabilità di un evento

In una distribuzione normale, la probabilità che la variabile assuma un certo valore può essere messa in relazione alla distanza rispetto alla media in termini di deviazioni standard.  Intuitivamente, valori molto distanti dalla media ricorrono meno frequentemente mentre valori vicini alla media sono più comuni.

Una proprietà importante di una distribuzione normale è che possiamo attenderci che:

  • il 68.3% dei valori si distribuisca entro una deviazione standard dalla media,
  • il 95.4% entro due deviazioni standard dalla media,
  • il 99.7% entro 3 deviazioni standard dalla media.

Dunque, dato un rendimento atteso e una volatilità, possono essere definiti degli intervalli all’interno dei quali dovrebbero ricadere una certa percentuale di rendimenti. Ciò che è importante ribadire è che, qualsiasi sia il valore che assumono la media e la deviazione standard della distribuzione, l’area sotto la curva compresa tra la media e n deviazioni standard rimane la stessa. Qualsiasi sia il centro e la forma della curva, l’area tra +1 e -1 deviazione standard conterrà sempre il 68,3% dei valori.

Nel caso di un investimento con rendimento atteso μ pari a 10% e deviazione standard σ pari a 15% possiamo aspettarci quindi che il 68.3% dei rendimenti che effettivamente ottenuti sia compreso tra -5% (10%-15%) e 25% (10%+15%), che il 95.4% sia compreso tra -20% (10%-2*15%) e 40% (10%+2*15%) e che il 99.7% sia compreso tra -35% (10%-3*15%) e 55% (10%+3*15%).

Se si conoscono media e deviazione standard della distribuzione dei rendimenti e, assumendo che questi siano distribuiti in modo normale, si può sempre calcolare la probabilità di ottenere un rendimento maggiore o minore di un determinato valore. Come si può immaginare, questo ha implicazioni molto rilevanti nella formulazione di modelli finanziari.

Questi calcoli possono essere fatti attraverso l’utilizzo di apposite tavole statistiche o con le funzioni di Excel. Per un’ottima e semplice introduzione alle funzioni di Excel per distribuzioni normali si veda questo articolo.

Uno scostamento dalla media di 2 o 3 deviazioni standard assume una dimensione diversa a seconda della volatilità dell’asset in questione. Prendiamo ad esempio la media e la deviazione standard giornaliera dei rendimenti registrate nell’ultimo anno da Facebook, Nvidia e Alibaba.

 

Un movimento giornaliero di 3 deviazioni standard (3 sigma) equivale ad uno scostamento rispetto alle rispettive medie del 3.21% per Facebook (-3.04%; 3.38%), del 7.98% per Nvidia (-7.65%; 8.31%) e del 4.92% per Alibaba (4.66%; 5.18%).

 

I mercati finanziari rispettano queste regolarità statistiche?

Ci si può chiedere se i rendimenti effettivamente riscontrati nella realtà rispettino queste regole.

Proviamo a calcolare qual è la probabilità che i rendimenti giornalieri di un investimento si discostino dalla media per un certo numero di deviazioni standard.


Oltre le 6 deviazioni standard la probabilità prevista da una distribuzione normale diventa così remota che l’evento appare assolutamente inverosimile.

E’ davvero così?

Il 19 ottoble 1987, il Black Monday, l’indice S&P scese del 23% (25 deviazioni standard!). La probabilità di un evento a 25 deviazioni standard è equivalente a quella di vincere 21 o 22 volte di seguito una lotteria da 2.5 milioni di euro comprando un biglietto da un euro (si veda questo studio).

Durante la grande crisi del 2007/2008 si susseguirono eventi con movimenti superiori a 20 deviazioni standard. Il giorno dopo il referendum sulla Brexit il tasso di cambio sterlina dollaro scese di 15 deviazioni standard.

Questi fenomeni sono considerati praticamente impossibili se effettivamente i rendimenti sono distribuiti in modo normale.

Verifichiamo empiricamente come si sono distribuiti i rendimenti giornalieri dell’S&P 500 nel periodo 2006/2015 rispetto a quelli previsti da una distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1% (per intervalli giornalieri il rendimento atteso può essere infatti approssimato a zero mentre la deviazione standard giornaliera dal 1950 ad oggi è stata prossima all’1%).

 

La distribuzione dei rendimenti presenta un picco più alto rispetto alla distribuzione normale, lati più stretti e code più spesse. Quest’ultima caratteristica fa sì che eventi estremi siano più probabili di quelli previsti da una distribuzione normale. La tendenza della distribuzione ad assumere questa forma, detta leptocurtosi, è molto accentuata per intervalli di misurazione brevi, mentre tende a riassorbirsi per intervalli più lunghi. 

Considerare distribuzioni alternative rispetto a quella normale va oltre gli obiettivi di questo post. Il dibattito accademico non propone un’alternativa universalmente accettata e la distribuzione normale, seppur nella consapevolezza delle sue limitazioni, continua ad essere lo standard nei modelli finanziari.

Il fatto che gli eventi estremi siano nella realtà più probabili ha però effetti per quanto riguarda il pricing di alcuni strumenti finanziari. Ad esempio, dal Black Monday in poi, i trader hanno cominciato ad assumere che la distribuzione dei rendimenti abbia una coda alla sinistra della media più spessa di quella descritta da una distribuzione normale, cioè che la probabilità di ribassi violenti sia più probabile di quanto previsto dalla distribuzione normale. Questo ha comportato l’apparire della cosiddetta skew nel mercato delle opzioni, che fa sì che le put out of the money (che vengono usate per proteggersi da ribassi violenti del mercato) vengano prezzate più care delle corrispondenti opzioni call in termini di volatilità implicita.

 

 

Appendice – Il metodo di calcolo della deviazione standard.

Per calcolarne il valore della deviazione standard σ occorre:

  1. Calcolare la media delle rendimenti (μ)
  2. Ottenere la deviazione di ogni rendimento dalla media (ri – μ)
  3. Elevare al quadrato le deviazioni in modo da ottenere tutti valori positivi (ri – μ)2
  4. Sommare le tutte le deviazioni elevate al quadrato ∑(ri – μ)2
  5. Fare la media delle deviazioni quadratiche ∑(ri – μ)/N. Questa grandezza è detta varianza. N.B. Se si tratta di un campione il denominatore diventa (n-1) invece di N
  6. Calcolare la radice quadrata del risultato per ottenere la deviazione standard

In modo meno tedioso si può utilizzare la funzione di EXCEL DEV.ST.P (o EXCEL DEV.ST.C se si considera un campione).

Calcoliamo la deviazione standard di quattro numeri (3, 5, 8, e 12) attraverso tutti i passaggi elencati sopra e nel modo più breve utilizzando la funzione di Excel per verificare che i risultati coincidono.

Ciò che si ottiene è una misura della dispersione dei rendimenti intorno alla loro media. Più alta la deviazione standard più alta la dispersione e viceversa. Come già anticipato, la deviazione standard viene utilizzata come misura della volatilità.

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