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Come la volatilità erode il rendimento

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Qual è il rendimento finale che otterreste su un investimento di due anni che perde il 50% il primo anno e guadagna il 50% il secondo? La risposta che viene spontanea, e quella che il 90% delle persone vi darebbero, è zero.

In realtà alla fine dei due anni vi ritrovereste con una perdita del 25%.

Primo anno: 100 * (1 – 50%) = 50

Secondo anno: 50 * (1 + 50%) = 75

L’effetto compounding

Come si vede, la perdita finale è dovuta al fatto che il rendimento positivo del 50% ottenuto il secondo anno si accumula su una base minore. Partendo da un capitale minore, non si riesce a recuperare la perdita del primo anno che era invece calcolata sull’intero investimento iniziale. Questo viene generalmente definito effetto compounding.

Proviamo a rappresentare tale fenomeno utilizzando una semplice notazione algebrica:

(1 – x) * (1 + x) = 1 – x2

laddove x rappresenta il rendimento ottenuto in ciascuno dei due anni. Come si vede, quando ad un rendimento negativo ne segue uno positivo pari alla stessa percentuale, si ottiene un risultato finale sempre minore rispetto all’investimento iniziale (dato che viene sottratto ad 1 il termine x2 che è sempre positivo). Sarebbe stata la stessa cosa se avessimo ottenuto prima un guadagno e poi una perdita.

Questo effetto aumenta all’aumentare dell’ampiezza del movimento dei prezzi. Se x = 10%, l’effetto sarà pari all’1%; se x = 50%,  il 25% dell’investimento sarà eroso al termine dei due anni a causa della volatilità dei prezzi.

Da ciò consegue che, per tornare in pareggio dopo una perdita, sarà necessaria una percentuale di guadagno maggiore rispetto alla perdita iniziale. La stessa percentuale non è sufficiente per recuperare perché si parte da una base minore.

 

 

Media aritmetica vs media geometrica

Perché la media aritmetica non fornisce una rappresentazione veritiera riguardo al risultato finale di un investimento?

La media aritmetica funziona bene quando gli eventi sono indipendenti. I rendimenti di un investimento non sono indipendenti tra loro perché il guadagno o la perdita in un determinato anno dipendono dal capitale sul quale vengono calcolati che a sua volta dipende dai rendimenti ottenuti negli anni precedenti.

La media aritmetica, che è quella che usiamo nella vita di tutti i giorni, si applica quando quantità sono sommate per produrre un totale. La media aritmetica restituisce il valore che le quantità avrebbero dovuto assumere per produrre lo stesso totale nel caso le quantità fossero tutte uguali.

Media aritmetica =  (a1 + a2 + … an)/n

La media geometrica invece si applica quando quantità sono moltiplicate tra loro per produrre un prodotto. La media geometrica è quel valore che moltiplicato per se stesso volte fornisce lo stesso prodotto.

Media geometrica = (a1 * a2 * … * an)1/n

Poiché il valore finale di un investimento al termine di n anni è il risultato del prodotto (1+r1)*(1+r2)* …. *(1+rn), è la media geometrica dei rendimenti che viene usata come standard per valutare gli investimenti. Questa tiene conto dell’effetto compounding, che invece sfugge alla media aritmetica, e fornisce una rappresentazione corretta della ricchezza finale dell’ investitore.

La media geometrica dei rendimenti (compound return) viene ottenuta aggiungendo 1 agli n rendimenti considerati, moltiplicando tra loro tutti gli (1+r), calcolando la radice n-esima del risultato e sottraendo 1,  il capitale iniziale .

r = ((1+r1)*(1+r2)* …. *(1+rn))1/n -1

Nel nostro caso: (1.5*0.50)1/2 -1 = =-13.4%

La media aritmetica dei rendimenti nel nostro esempio è pari zero, ma in realtà alla fine dei due anni vi ritrovereste in tasca il 25% in meno rispetto all’investimento iniziale, che corrisponde ad un rendimento geometrico annuo del -13.4%

E’ quindi sempre bene diffidare da chi presenta una proposta di investimento con la media aritmetica dei rendimenti annuali passati. Questa potrebbe rivelarsi fuorviante rispetto alla comprensione dell’effettiva redditività dell’investimento.

Il volatility drag

A parità di altre condizioni, una maggiore volatilità dei prezzi tende quindi a  ridurre il rendimento effettivamente percepito dall’investitore. Riportiamo a puro scopo esemplificativo il caso di tre investimenti che oscillano intorno ad un rendimento medio aritmetico pari a zero con differenti gradi di volatilità.

Come si vede, l’effetto di distruzione di ricchezza da parte della volatilità:

  • aumenta per livelli di volatilità crescente
  • aumenta con l’allungarsi della durata dell’investimento 

 

La media aritmetica è sempre maggiore rispetto alla media geometrica tranne nel caso in cui i rendimenti annuali sono costanti. Chi fosse interessato alla dimostrazione matematica di questa che viene definita disuguaglianza AM (arithmetic mean) – GM (geometric mean), la può trovare qui.

Facciamo un esempio in cui i rendimenti nel corso di due anni consecutivi sono invariati al 5%:

la media aritmetica è pari a (5%+5%)/2 = 5%.

quella geometrica è pari a (1.05*1.05)1/2-1 =5%

In questo caso, cioè quando la volatilità dei rendimenti è nulla, le due medie si equivalgono. In ogni altro caso, la volatilità tenderà a deprimere il rendimento geometrico, quello effettivamente percepito dall’investitore.

La differenza tra la media aritmetica e la media geometrica dei rendimenti viene detta volatility drag.

Volatility drag = Rendimento aritmetico – Rendimento geometrico

In caso di rendimenti distribuiti in modo normale, l’effetto del volatility drag può essere approssimato come:

Volatility drag= 0.50 * Volatilità2

dove la volatilità è data dalla deviazione standard dei rendimenti.

 

 

Per la stessa media aritmetica dei rendimenti, il rendimento geometrico diminuisce all’aumentare della volatilità.

Ipotizzando un investimento di 10 anni con rendimento medio aritmetico pari al 10%, per diversi scenari di volatilità si otterrebbero i seguenti risultati:

 

 

Come si vede, a parità di rendimento medio, la volatilità ha un effetto importante sul rendimento effettivamente percepito dall’investitore al termine dei 10 anni.

 

La matematica del rendimento geometrico in pratica: gli ETF a leva

Il volatility drag assume un’importanza centrale nell’analisi di strumenti finanziari che amplificano la volatilità dei rendimenti. Ci riferiamo in particolare agli ETF a leva. Tali strumenti si pongono l’obiettivo di moltiplicare l’ampiezza dei movimenti giornalieri dell’indice sottostante. Ad esempio un ETF con leva 3x si propone di restituire su base giornaliera la performance del sottostante moltiplicata per 3. Per questo tipo di ETF una variazione giornaliera positiva e negativa dello stesso ammontare x dell’indice sottostante, darebbe luogo ad una variazione dell’ETF pari a:

(1 – 3x) * (1 + 3x) = 1 – 9x2

Supponendo x=20%, un +20% e – 20% consecutivi darebbero origine ad un volatility drag del 36%. L’ETF, partendo da un ipotetico prezzo iniziale pari a 100, scenderebbe a 64! Ciò a fronte di un rendimento aritmetico medio dell’indice sui due giorni pari a zero.

Dedicheremo un prossimo post ai leveraged ETF ma da quanto esposto sopra appare evidente già da ora come la possibilità di amplificare i rendimenti attraverso lo strumento della leva vada soppesata con la possibile distruzione di valore causata dalla maggiore volatilità.

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