Come sono distribuiti i rendimenti di un investimento?
Generalmente si assume che i rendimenti si distribuiscano secondo quella che viene definita una distribuzione normale. In realtà vedremo che non sempre a distribuzione normale descrive in modo corretto la distribuzione dei rendimenti, ma serve comunque a semplificare molto le cose.
Si tratta della classica distribuzione “a campana” che descrive bene la dispersione dei valori intorno alla media per molti fenomeni che osserviamo nella vita di tutti i giorni. Ad esempio l’altezza o il peso dei singoli individui di popolazione è distribuita in modo normale attorno al valore medio.
La probabilità che la variabile assuma un valore all’interno di un determinato intervallo è misurata dall’area sottesa sotto la curva. L’area totale sotto la curva normale è pari a 1, che significa il 100% di probabilità.
In una distribuzione normale le osservazioni si distribuiscono in modo perfettamente simmetrico intorno alla media. Questo vuol dire che la probabilità di una deviazione positiva dalla media è la stessa di una deviazione negativa della stessa grandezza.
La probabilità di un evento diminuisce a mano a mano che ci allontaniamo dal centro mentre è massima per il valore centrale. In tale valore centrale coincidono media, moda e mediana.
Anche se si è digiuni di statistica, queste considerazioni appartengono abbastanza alla nostra esperienza quotidiana, in cui come abbiamo detto, molti fenomeni fisici tendono a distribuirsi in modo normale. Il fatto che sia più probabile incontrare individui di altezza media piuttosto che molto alti o molto bassi è un concetto che ci appartiene.
Nella figura la distribuzione dell’altezza degli individui intorno alla media di 175 centimetri.
Media e deviazione standard
Uno degli aspetti che rendono particolarmente conveniente lavorare con questo tipo di funzioni di probabilità è il fatto che ogni singola distribuzione normale può essere descritta da due soli parametri: la media e la deviazione standard.
La media definisce il centro della distribuzione mentre la deviazione standard ne definisce la dispersione dei valori rispetto al valore medio.
Come si vede dal grafico sopra, una distribuzione con media 0% è centrata su tale valore mentre se la media è 10% la distribuzione si posiziona più a destra sull’asse orizzontale per portare il suo centro in corrispondenza di tale media.
La deviazione standard invece definisce l’ampiezza della campana, descrive cioè quanto le osservazioni sono disperse rispetto al valore centrale. Una deviazione standard contenuta implica che le osservazioni tendono a concentrarsi intorno alla media.
Una deviazione standard maggiore indica invece una maggiore dispersione dei valori rispetto alla media. Graficamente, questo si riflette in un maggior spessore delle “code” della distribuzione che implica una maggiore probabilità del verificarsi di eventi più distanti dal valore centrale.
Il grafico sotto mostra due distribuzioni normali con la stessa media (pari al 5%) ma con variazioni standard diverse. La prima, con variazione standard minore (5%) tende ad avere valori più concentrati in prossimità della media mentre l’aumento della deviazione standard della seconda (8%) determina una maggiore dispersione delle osservazioni con la parte sulle code che diventa più spessa ad indicare una maggiore probabilità di eventi più lontani dal valore centrale.
Tipicamente, diverse asset classes avranno caratteristiche diverse in termini di rischio e rendimento che possono essere visualizzate attraverso la diversa forma assunta dalla loro distribuzione dei rendimenti.
Ad esempio, un’asset class poco rischiosa come quella obbligazionaria tenderà ad avere rendimenti poco dispersi rispetto alla media (bassa deviazione standard).
Un’asset class più rischiosa come quella azionaria tenderà invece ad avere rendimenti più dispersi rispetto al valore centrale.
Visto che la probabilità del verificarsi di osservazioni più lontane dalla media aumenta, le “code” della distribuzione si allungano e diventano più spesse. Come remunerazione a fronte della maggiore variabilità dei rendimenti, un’asset class rischiosa consente generalmente di ottenere un maggior rendimento medio, graficamente espresso dal fatto che il centro della distribuzione si sposta verso destra, che corrisponde a maggiori rendimenti attesi.
